более сложные опыты

Перейдем к чуть более сложным опытам с двумя одинаковыми кубиками. Какова вероятность того, что при их одновременном подбрасывании на первом из кубиков выпадет «двойка», а на втором — «тройка»? Ответ опять-таки легко найти «по здравому смыслу».

Если подбрасывать кубики N раз, то на первом выпадет «двойка» в 2 случаях. А что будет в это время на втором? На нем «тройка» выпадает с вероятностью Рз, т. е. только в случаях «двойка» и «тройка» одновременно выпадут соответственно на первом и втором кубиках: Это так называемое правило умножения вероятностей: вероятность совместной реализации двух независимых событий) А и В определяется их произведением р{А * В) — р(А) *(В). События А к В называются независимыми, если вероятность реализации В не зависит от того, произошло ли А или нет. Вот, пожалуй, и все свойства вероятности, которые пригодятся нам в дальнейшем. Теперь немного потренируемся в обращении с вероятностями, а заодно получим несколько полезных формул и оценок. При этом потребуется немного «повозиться» с математическими формулами, так что наберитесь терпения. В начале этого параграфа утверждалось, что при бросании большого числа монет можно с высокой точностью предсказать, что выпадет равное число «орлов» и «решеток». Попробуем показать, что означают слова «с высокой точностью», и с этой целью подсчитаем, какова вероятность того, что при бросании N монет т из них упадут на «орла». Всего существует 2N возможных исходов бросания N монет.

Обозначим через QmN число исходов (будем их называть благоприятными), когда выпадает ровно n «орлов». Тогда искомая вероятность равна. Те, кто знаком с комбинаторикой, сразу запишут выражение для числа благоприятных исходов: Нетрудно понять, как оно получается. Пронумеруем монеты и нарисуем любой из благоприятных исходов. При этом становится довольно очевидным, что по существу требуется найти, сколькими способами m «орлов» можно «расположить» на N монетах. Первый «орел» может выпасть на любой из N монет, второй — на любой из оставшихся (N- 1) и т. д. Общее число вариантов соответственно равно. Это число, на которое даже не хватает фантазии. Оно демонстрирует «остроту» максимума вероятности и показывает, что при бросании 1023 монет прогноз «по максимуму вероятности» оказывается практически точным.

Комментарии закрыты.