Главная формула статистической механики

Главная формула статистической механики

Как бы ни «кувыркались» микроскопические магнитики, свойства больших образцов демонстрируют завидное постоянство. Измеряя точку Кюри магнита, мы всякий раз будем получать одно и то же ее значение (конечно, в пределах погрешности измерений). А вот сходный пример из другой области физики. Давление газа в баллоне определяется импульсом, передаваемым молекулами стенкам при ударе о них. И хотя каждая молекула движется хаотически, показания манометра не меняются. Видимое противоречие разрешается, если вспомнить, что мы никогда не «имеем дела» с отдельной молекулой или отдельным магнитиком. Во всех процессах участвует колоссальное количество таких микроскопических объектов и в силу вступают законы больших чисел. С их действием мы уже знакомы на примере с подбрасыванием монет. Как бы случайно ни подбрасывалась каждая отдельная монета, из большого числа монет почти ровно половина упадут на «орла»… Точно так же при хаотических переворотах стрелок модели Изинга в принципе может возникнуть любая их конфигурация. Но вероятности львиной доли этих конфигураций исключительно малы. А нас интересует, наоборот, элита — элита самых вероятных.

От чего зависит вероятность появления той или иной конфигурации магнитных стрелок? На первый взгляд кажется, что от ориентации каждой из них. К счастью, это не так.

Например, совершенно очевидно, что две конфигурации, отличающиеся направлением всех стрелок, равновероятны. Можно привести и множество других аналогичных примеров. Это подводит нас к важному выводу: очевидно, вероятность появления той или иной конфигурации зависит от какой-то величины, характеризующей всю конфигурацию в целом. Наиболее подходящим кандидатом на центральную роль без сомнения является энергия: Кроме того, в выражение для вероятности обязательно должна входить температура. В этом мы убедились, когда анализировали, как тепловое движение разупорядочивает систему первоначально параллельных магнитных стрелок. Чтобы вероятность была величиной безразмерной, энергия и температура должны входить в нее в виде отношения E/kT. Вывода точной формулы мы проводить не будем (он достаточно сложен), а сразу запишем окончательный результат, принадлежащий Гиббсу: Хотя формулу для вероятности мы оставим без доказательства, отметим все-таки, как разумно она «устроена». По принципу «и волки сыты, и овцы целы». В самом деле, конфигурации с большой энергией не запрещены совсем. Но чем больше энергия конфигурации, тем менее она вероятна. Наконец, подчеркнем еще одно существенное обстоятельство. Формула Гиббса относится к случаю, когда в системе достигнуто тепловое равновесие. По значимости для физики формулу для вероятности можно сравнить с законами Ньютона. Приведем ее оценку Р. Фейнманом:

Это фундаментальное соотношение является вершиной статистической механики: остальное ее содержание есть либо спуск с вершины, когда основные принципы применяются к частным вопросам, либо восхождение на нее, когда выводятся основные соотношения и уточняются понятия теплового равновесия и температуры. Надо признать, что восхождение мы совершили не очень подробно, как по волшебству перелетая через опасные пропасти). По терминологии Фейнмана нас больше интересует спуск — применение формулы Гиббса к фазовым превращениям в металлах и сплавах.

Комментарии закрыты.